$inc bukan pengidentifikasi Python yang valid. Anda harus meneruskannya sebagai string, seperti yang lainnya:
mongo_db.campaign.update({'_id': str(campaign_id)}, {'$inc': {'item': 1}})
Dokumen MongoDB yang Anda tautkan adalah dokumentasi MongoDB umum, bukan khusus PyMongo; Anda tidak dapat menyalin/menempelnya secara harfiah dan berharap semuanya berfungsi.
