Anda harus menggunakan GROUP BY jika Anda ingin menggunakan COUNT(*) , tetapi Anda bisa mendapatkan jumlah baris dengan mysql_num_rows() seperti ini.
$result=mysql_query("SELECT * AS Result FROM users WHERE user_name='$user_name' AND pass='$password_hash' LIMIT 1") or die(mysql_error());
$num_rows = mysql_num_rows($result);