Anda keluar dari $ dalam variabel dengan melakukan \$ .Cobalah:
$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
EDIT
Dari pembahasan di bawah ini.
Masalah dengan undefined index adalah fakta bahwa Anda menggunakan $row['age'] padahal sebenarnya nama kolom di database adalah Age . Oleh karena itu Anda harus menggunakan $row['Age'] ketika mengacu pada item. Hal yang sama berlaku untuk name .