Masalahnya adalah memanggil $dossier->program
sebenarnya tidak mengakses properti secara langsung dalam model tipe Eloquent melainkan memanggil __get
metode.
Metode get itu tidak mengembalikan referensi ke properti. Yang harus Anda lakukan adalah mengambil properti aslinya, memodifikasinya, lalu mengembalikannya:
$dossier=Dossier::where('_id',(int)$request->input('dossier_id'))->first();
$originalProgram = $dossier->program;
$originalProgram[$request->input('program')]['cities'][$request->input('city')]['services'][$request->input('service')][$request->input('name')]=$request->input('value');
$dossier->program = $originalProgram;
$dossier->save();